Gratuidad y sumas infinitas

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Dr. Gabriel Gatica. Centro de Investigación en Ingeniería Matemática de la UdeC.

A pesar de que uno podría, eventualmente, no estar completamente de acuerdo con la gratuidad universal en la educación superior, es preciso reconocer que el concepto ya se instaló en nuestra sociedad, casi como un dogma y probablemente por un buen tiempo, de modo que no queda más que razonar dentro de esa lógica. Al respecto, llama mucho la atención que recién ahora se esté hablando con más detenimiento de algo que podía haberse previsto desde un comienzo, lo cual puede resumirse en algunas preguntas claves que ninguno de los periodistas de radio o televisión le hizo nunca a los lideres estudiantiles de entonces, a saber: ¿por cuánto tiempo se quiere la gratuidad?, ¿cuántas veces?, ¿por qué factor (mayor que 1, obviamente) de la duración de cada carrera? Todos los que trabajamos en las universidades sabemos a ciencia cierta que un porcentaje no menor de estudiantes no termina en el plazo oficial estipulado, y que por lo tanto había que pensar en una continuación de dicho beneficio más allá del tiempo teórico preestablecido. Hoy en día, no gustando el sistema bipartito que establece la ley, se escuchan voces que sugieren, sin mucho análisis previo, creo yo, de uno hasta dos o incluso más años adicionales para todos los que no han concluido sus estudios. El inconveniente principal de esta idea es que, luego de terminada una primera extensión, es altamente probable que surjan las mismas e incluso nuevas voces pidiendo la prolongación respectiva por un nuevo periodo, y así sucesivamente, generando de este modo una secuencia finita de gastos muy difícil de controlar a priori. Por mi parte, e igualmente teniendo en mente lo que podrían demorar los alumnos en titularse, me gustaría proponer una mirada algo distinta, desde la matemática, más precisamente desde las sumas infinitas, llamadas usualmente series. Confieso desde ya, tal como quedará claro posteriormente, que esto último, si bien atingente, es una pequeña exageración del título y del texto para llamar la atención del lector.

En efecto, intuitivamente existe la percepción generalizada que al sumar indefinidamente cantidades cada vez más pequeñas se obtiene un resultado finito, acotado. El contra-ejemplo clásico en los cursos de cálculo es la suma de los recíprocos de los números naturales, esto es 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … etc., la cual, si bien va creciendo cada vez más lentamente, nunca se acota, y por lo tanto decimos que esta serie “tiende”, se acerca, a infinito. Para convencernos de ello, al menos parcialmente, basta observar que si llamamos SN al valor que se obtiene sumando los primeros N recíprocos, entonces los valores de SN para N igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8, están dados por 1, 1.5, 1.83, 2.08, 2.28, 2.45, 2.59 y 2.71, respectivamente. Por otro lado, si uno suma indefinidamente los recíprocos de las potencias de 2, equivalentemente, si a partir de 1 cada sumando posterior es la mitad del anterior, esto es 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … etc., entonces es fácil ver que dicha suma sí es acotada (por 2), y más aún que ella se acerca cada vez más a esa cota, con lo cual se dice que la serie “tiende” a 2.

Naturalmente, volviendo a la cuestión sobre el tiempo adicional en que se necesita extender la gratuidad, y tal como lo adelanté, la explicación anterior sobre sumas infinitas puede parecer una exageración ya que nadie estará indefinidamente estudiando una carrera. Sin embargo, los conceptos de una serie acotada o no-acotada mencionados allí sí nos pueden servir para discernir algunas estrategias razonables que consideren, por ejemplo, al menos un año de gracia. En tal caso, si M representa el costo de la gratuidad anual para todos los alumnos que están en su primer año post-término de la duración teórica de sus carreras, entonces podría considerarse un mismo monto adicional M (generando así un gasto total máximo de 2M) para que puedan seguir estudiando en base a lo que sugieren las series antes mencionadas (a ser explicado a continuación). Lo anterior, ciertamente, bajo el supuesto que la fracción de aquellos que siguen sin terminar va disminuyendo año a año. En efecto, si adoptamos como modelo la serie no-acotada, entonces se podría financiar la gratuidad durante los próximos 3 años a las fracciones de estudiantes, con respecto a la cantidad original de ellos, dadas a lo más por 1/2, 1/3 y 1/4, respectivamente (en rigor, y de acuerdo al cuarto valor de SN identificado allí, aquí se generaría un costo máximo de 2.08M, el cual es aproximado a 2M). Por su parte, si se utiliza la serie acotada, entonces la gratuidad se podría otorgar indefinidamente a las fracciones de alumnos dadas, a lo más, por 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 y así sucesivamente. Opcionalmente, este segundo método se podría aplicar también por un tiempo finito, por ejemplo sólo durante los 3 o 4 años siguientes, con fracciones dadas por 1/2, 1/4 y 1/4 o 1/2, 1/4, 1/8 y 1/8, respectivamente. En cualquier caso, las diferencias entre las fracciones reales de alumnos sin terminar que se generen y las fracciones propuestas por cada una de las alternativas descritas, deberían ser financiadas por los propios estudiantes, por la institución involucrada, o por una combinación de ambas fuentes, por ejemplo en la forma como lo dice la ley actual o a través de un sistema tipo arancel diferenciado. Modificaciones en la cota superior 2M y utilización de otras series con propiedades similares generarían procedimientos igualmente válidos, aunque algunos más o menos caros, o bien beneficiando a más o menos estudiantes por menos o más tiempo.

Si bien lo anterior podría ser considerado por mis colegas o pares como una discusión elemental de suma de fracciones, ello sólo apunta a dejar establecido que todo estudio sobre extensión de la gratuidad debe ser debidamente fundamentado dentro de un contexto de factibilidad real de financiamiento. En primer lugar, creo que ha quedado claro (me remito a la serie no-acotada y a los valores de SN) que un gasto cada vez menor en gratuidad adicional no garantiza necesariamente un control del costo total resultante, y que por lo tanto es imperioso establecer a priori cotas superiores del mismo. A su vez, me parece que es importante generar una motivación adicional a los estudiantes para que demoren menos tiempo y así aumenten sus probabilidades de completar sus carreras con la mayor gratuidad posible. Esto explica también las fracciones decrecientes que se sugieren después del primer año extra. Me detengo un instante para agregar que las razones específicas por las cuales los alumnos se retrasan es tema de otra columna. Sólo diré aquí que ellas podrían deberse tanto a errores no-forzados por parte de ellos, como también al desempeño de los profesores e incluso a eventuales políticas de docencia inadecuadas de nuestras casas de estudio.

En definitiva, hacer un análisis con algún sustento técnico, aunque sea de aritmética básica como el utilizado en esta columna, es lo mínimo que corresponde a nuestro entorno académico. Lo otro, exigir persistentemente al gobierno de turno que siga otorgando todos los recursos necesarios para financiar la gratuidad adicional, sin entender que, al igual como lo hacemos en nuestros hogares, un país debe establecer prioridades para sus gastos, refleja simplemente una actitud excesivamente política que podría, involuntariamente por cierto, rayar en lo populista o incluso lo demagógico, posturas todas que no deberían primar en nuestro ámbito universitario, ni menos en el Cruch.